EJERCICIO 15

Dados los conjuntos A = { – 1 , 2 , 0 , 1 , – 2 }, B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 } y la relación R = { ( x , y ) ∈ A × B / x – y ≥ 2 }. Represente la relación mediante un conjunto de pares ordenados. Determine dominio y rango de la relación. Solución. En primer lugar, se determina el producto cartesiano entre los conjuntos A y B. El producto cartesiano A × B es el conjunto de pares ordenados en los cuales la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente al conjunto B, adicionalmente, se debe combinar cada elemento de A con todos los elementos de B. De esta manera, la primera combinación que resulta es: ( – 1 , 2 ), luego ( – 1 , 3) y así sucesivamente hasta la combinación ( – 2 , 9 ). Producto cartesiano. A × B = { ( – 1 , 2 ) , ( – 1 , 3 ) , ( – 1 , 4 ) , ( – 1 , 5 ) , ( – 1 , 6 ) , ( – 1 , 9 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 9 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , 3 ) , ( 0 , 4 ) , ( 0 , 5 ) , ( 0 , 6 ) , ( 0 , 9 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 1 , 9 ) , ( – 2 , 2 ) , ( – 2 , 3 ) , ( – 2 , 4 ) , ( – 2 , 5 ) , ( – 2 , 6 ) , ( – 2 , 9 ) } Se ha escrito en la forma anterior con el objeto de ilustrar la formación de los elementos del producto cartesiano, sin embargo, la forma final se escribe como sigue: A × B = { ( – 1 , 2) , ( – 1 , 3) , ( – 1 , 4) , ( – 1 , 5) , ( – 1 , 6 ) , ( – 1 , 9 ) , ( 2 , 2) , ( 2 , 3) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) , ( 2 , 9 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , 3 ) , ( 0 , 4 ) , ( 0 , 5 ) , ( 0 , 6 ) , ( 0 , 9 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 1 , 9 ) , ( – 2 , 2) , ( – 2 , 3 ) , ( – 2 , 4) , ( – 2 , 5) , ( – 2 , 6 ) , ( – 2 , 9 ) } Según se indica en la relación, la diferencia entre el elemento del conjunto A (x) y el elemento del conjunto B (y) es mayor o igual a 2. Nos damos cuenta que ninguno de los pares ordenados pertenecientes al producto A × B cumplen con esa condición, por lo tanto, la relación es: R = Ø.