Fundamentos teóricos. Energía del oscilador armónico simple.

Energía del oscilador armónico simple Examinemos la energía mecánica del sistema masa – resorte que se ilustra en la figura 1. Figura 1. Ya que la superficie no tiene fricción, el sistema está aislado y es de esperar que la energía mecánica total del sistema sea constante. Ahora suponga que un resorte sin masa, de modo que la energía cinética del sistema sólo corresponde a la del bloque, se puede usar la ecuación v (t) = – ω A sen (ω t + ϕ) para expresar la energía cinética del bloque como \(K = \frac{1}{2}m\,v^2\) \(K = \frac{1}{2}m\,[-A\,\omega\,\text{sen}\,(\omega\,t+\phi)]^2\) \(K = \frac{1}{2}m\,\omega^2A^2\text{sen}^2(\omega\,t+\phi)\) (1) La energía potencial elástica almacenada en el resorte para cualquier elongación x se conoce por \(U = \frac{1}{2}k\,x^2\). Si usa la ecuación x (t) = A cos (ω t + ϕ) produce \(U = \frac{1}{2}k\,[A\,\cos\,(\omega\,t+\phi)]^2\) \(U = \frac{1}{2}k\,A^2\cos^2(\omega\,t+\phi)\) (2) Se ve que K y U siempre son cantidades positivas o cero. La energía mecánica total del oscilador armónico simple se expresa como: E = K + U (3) Al sustituir las ecuaciones (1) y (2) en la ecuación (3): \(E = \frac{1}{2}m\,\omega^2A^2\text{sen}^2(\omega\,t+\phi)+\frac{1}{2}k\,A^2\cos^2(\omega\,t+\phi)\) Puesto que , entonces m ω2 = k, por lo tanto: \(E = \frac{1}{2}k\,A^2\text{sen}^2(\omega\,t+\phi)+\frac{1}{2}k\,A^2\cos^2(\omega\,t+\phi)\) \(E = \frac{1}{2}k\,A^2\,[\text{sen}^2(\omega\,t+\phi)+\cos^2(\omega\,t+\phi)]\) A partir de la identidad sen2θ + cos2θ = 1, se ve que la cantidad entre corchetes es la unidad. En consecuencia, esta ecuación se reduce a \(E = \frac{1}{2}k\,A^2\) Esto es, la energía mecánica total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud. La energía mecánica total es igual a la energía potencial máxima almacenada en el resorte cuando x = ± A porque v = 0 en estos puntos y no hay energía cinética. En la posición de equilibrio, donde U = 0 porque x = 0, la energía total, toda en forma de energía cinética, es de nuevo \(\frac{1}{2}k\,A^2\). En la figura 2a aparecen gráficas de las energías cinética y potencial en función del tiempo, donde se consideró ϕ = 0. En todo momento, la suma de las energías cinética y potencial es una constante igual a , la energía total del sistema. Figura 2. a) Energía cinética y energía potencial en función del tiempo para un oscilador armónico simple con ϕ = 0. b) Energía cinética y energía potencial con la posición para un oscilador armónico simple. En cualquier gráfica, note que K + U = constante. Las variaciones de K y U con la posición x del bloque se grafican en la figura 2b. La energía se transforma continuamente entre energía potencial almacenada en el resorte y energía cinética del bloque.